Jeux mathématiques

Fort Boyard EBAY Gobelets
Le jeu des bâtons Les enchères ascendantes au deuxième prix Le jeu des trois gobelets Le concours séquentiel

Fort Boyard Fort-Boyard : comment gagner au jeu des bâtons

Les brillants candidats de Fort-Boyard (France 2), après avoir glorieusement conquis toutes les clés malgré la présence de l'animatrice, doivent affronter les maîtres du temps.

Un des défis consiste en un duel de bâton nets : 20 bâtons sont alignés sur la table et les deux joueurs doivent tour à tour en retirer 1, 2 ou 3 à leur convenance. Celui qui retire le dernier bâton a perdu.

Présentation du jeu

La solution de ce jeu est assez simple : raisonnons en partant de la fin.

  1. Celui qui prend le dernier bâton a perdu. Mon adversaire n'étant pas fou, il ne le prendra que s'il n'a pas d'autre choix, c'est à dire si à la fin de mon tour il ne reste plus qu'un seul bâton sur la table. J'ai donc gagné si je ne laisse qu'un seul bâton sur la table à la fin de mon tour (situation gagnante).
  2. De manière générale, je peux toujours faire en sorte que, sur deux tours où je joue en dernier, la somme des bâtons enlevés est de 4 : en effet, il suffit que j'en prenne 1 si l'adversaire en a retiré 3, 2 s'il en a retiré 2, et 3 s'il en a retiré 1. On dit que le jeu est invariant modulo 4 (règle d'invariance).
  3. En appliquant cette invariance 2) à la situation gagnante 1), on montre que les situations où je laisse (1+4n) bâtons à la fin de mon tour de jeu sont également des situations gagnantes.
  4. En conclusion, je gagne si à la fin de mon tour il reste 9 bâtons, ou bien 13, ou bien 17. Il faut donc chercher à se mettre dans une telle configuration.

Stratégie gagnante

CONCLUSION : si le jeu commence avec 20 bâtons, et que je joue en premier, je dois prendre au premier tour 3 bâtons, et à chaque tour suivant, je dois jouer le complémentaire à 4 du jeu de mon adversaire. Avec cette stratégie, je gagne à tous les coups !

Big Dil Big Dil : comment doubler ses chances de gagner la voiture

Les sympathiques candidats du Big Dil (TF1), après avoir remporté un somptueux cadeau grâce à leur euh ... disons talent, peuvent l'échanger contre une voiture. Ils doivent pour cela deviner derrière quelle case (1, 2 ou 3) elle se trouve.

On supposera pour simplifier que le jeu est non truqué, c'est à dire que les cadeaux sont répartis aléatoirement derrière les cases, sans tenir compte des impératifs de l'émission en matière d'audimat, d'image et de budget.

Déroulement du jeux :

i. Le candidat choisit une des trois cases, où il pense que le gros lot se cache. selection case case
ii. L'animateur, qui connaît la réponse, dévoile une des deux autres cases, et on voit que le gros lot ne s'y trouvait pas. selection case perdu
iii. Le candidat peut ensuite modifier son choix entre les 2 cases qui ne sont toujours pas dévoilées. case selection perdu
iv. On vérifie ce qui se cache derrière les cases, et le candidat gagne le lot s'il a trouvé la bonne case. case gagne perdu

Il s'agit d'un simple jeu de probabilités. Analysons :

  1. Au stade i) il n'existe absolument aucune stratégie meilleure ou pire qu'une autre, malgré le vote du public et les conseils du singe rose ou du castor bleu. Toutes les cases ont la même probabilité de cacher le gros lot : 1/3.
  2. Au stade ii), l'animateur sait où se cache le gros lot. Au moins une des 2 cases non choisies en i) ne contient pas le gros lot, et l'animateur désigne cette case. Cela ne change en rien la probabilité de gagner du candidat, qui était à 1/3 et reste à 1/3. Notons bien que si l'animateur ne connaissait pas la réponse, la probabilité passerait alors à 1/2, mais le gros lot risquerait d'être dévoilé à ce moment.
  3. Au stade iii), le candidat a intérêt à changer de case. En effet, la case qu'il a choisie au début est gagnante avec probabilité 1/3, et donc perdante avec probabilité 2/3. Cela signifie que l'autre case est gagnante avec la probabilité double 2/3 ! Encore une fois, ceci vient du fait que l'animateur connaît la réponse et donne une information capitale en retirant une des mauvaises options.

CONCLUSION : le candidat a intérêt à changer son choix.

EBAY Ebay : les enchères ascendantes au deuxième prix

Les acheteurs calculateurs sur EBAY participent à une une vente ascendante au deuxième prix, c'est-à-dire que, sur la base d'une enchère maximale, ou valuation, le site d'enchères compare votre offre à celle des autres enchérisseurs, et l'augmente automatiquement du montant nécessaire pour qu'elle reste toujours la plus élevée.

Exemple : Corbeau (joueur C) et Renard (joueur R) s'affrontent pour emporter un fromage (objet).
Supposons que C soit prêt à payer 60 sous pour cet objet alors que R, bien plus gourmand, accepterait potentiellement d'aller jusqu'à 80 sous. Voici plusieurs séquences d'enchère envisageables. A chaque fois, l'axe des abscisses représente la chronologie des enchères, qui se déroulent entre le temps 0 et le temps 10, et les ordonnées présentent, pour chaque instant, la mise de C en noir, la mise de R en orange et le prix affiché de l'objet en bleu, le vainqueur du moment étant celui de R ou C ayant la mise la plus élevée.

Scénario 1 Scénario 1 : Le joueur C dévoile très tôt sa valuation de 60. Il est provisoirement vainqueur de l'objet au prix de 1. Le deuxième joueur dévoile alors sa valuation, de 80, ce qui lui donne l'ascendant sur l'objet à un prix de 61. Il s'agit du résultat final.
Scénario 2 : Le joueur C suit la même stratégie qu'auparavant mais le joueur R attend le dernier moment pour miser sa valuation. R emporte l'objet au prix de 61.Scénario 2
Scénario 3 Scénario 3 : Le joueur C affiche rapidement sa valuation et cette fois le joueur R attaque en augmentant progressivement sa mise tout en la maintenant inférieure à sa valuation. Il dévoile la valuation de C en faisant augmenter le prix mais ne l'emporte qu'au moment où mise dépasse 60. Il emporte alors l'objet au prix de 61
Scénario 4 : les joueurs augmentent progressivement leur mise à chaque fois que la victoire leur échappe. Le joueur C perd définitivement l'objet quand R mise au-delà de 60. R emporte l'objet au prix de 61, sans même avoir dévoilé sa valuation de 80.Scénario 4

Des joueurs ont développé toutes sortes de stratégie pour emporter des enchères au meilleur prix. Voici quelques conseils pour éviter une surchauffe des neurones, toutes ces stratégies n'étant que perte de temps.

  1. Un joueur possède une et une seule valuation pour un objet. Cette valuation dépend essentiellement du prix d'un objet similaire ou meilleur sur les autres marchés et de l'utilité que retire personnellement le joueur de cet objet. Sauf dans un dessein de spéculation ou de manipulation des cours (qui n'est généralement pas très légal), la valuation d'un joueur pour un objet ne dépend pas des autres joueurs ni du vendeur. Si un joueur est prêt, au dernier moment, à revoir à la hausse sa valuation, c'est qu'il ne s'est pas suffisamment interrogé, en amont, sur la valeur qu'il accordait à l'objet, ou alors c'est qu'il est pris par l'excitation du dernier moment et agit de manière irrationnelle en payant davantage pour l'objet qu'il ne le voudrait et le regrettera quelques instants plus tard (on voit parfois des objets d'occasion sur ebay se vendre plus chers que les mêmes objets neufs sur d'autres sites comme amazon).
  2. Le joueur ayant la plus forte valuation emporte l'objet au prix de la deuxième plus forte valuation, et ce quel que soit le nombre de joueurs.
  3. Un joueur n'a aucun avantage à cacher sa valuation. En effet, en application du 1), la valuation d'un joueur n'est pas influencée par les autres acteurs du marché. L'afficher publiquement est par contre une source d'efficacité, puisqu'elle améliore l'information sincère et accélère la fixation du prix (sans le modifier). Il est donc inutile de surenchérir plusieurs fois sur le même objet.
  4. Un joueur n'a aucun avantage à "jouer la montre", en application des mêmes principes. Un joueur peut miser plusieurs heures avant la clôture d'une enchère, il ne sera pas lésé par rapport à celui qui attend la dernière minute.

CONCLUSION : Dans tous les cas, le joueur ayant la plus forte valuation emporte l'objet au prix de la deuxième valuation. Il n'y a aucune stratégie permettant de modifier les valuations des autres joueurs ou de dévier de ce résultat final. Donc, s'il vous plait, quand vous achetez sur ebay, ne faites pas perdre leur temps aux autres acheteurs et saisissez dès le début votre enchère maximale.

Eurovision Eurovision : pourquoi les punks finlandais ont-ils gagné le concours du plus kitsch ?

Avec le concours d'Etienne Roussel

Le principe de l'Eurovision : 24 candidats de tous les pays qui se succèdent dans l'interprétation de leur « tube » national pour le plus grand ravissement de nos oreilles éblouies. Ensuite des juges attribuent des points à leurs morceaux favoris (dur métier, ce choix doit leur déchirer le coeur tellement tous les candidats méritent de gagner...), d'où un classement final.

Plaçons-nous dans la peau d'un juge :
Début de soirée : c'est émouvant, c'est bouleversifiant, les chansons sont plus belles les unes que les autres, j'attends la suite avec impatience...
Milieu de soirée : ah oui, cuila il est bien, attends cuila aussi, oh cuila est encore mieux
Fin de soirée : j'ai envie de faire pipi et ma femme va encore me rouspéter si je rentre tard, quand est-ce que ça se termine ? de toute façon mon choix est fait
Le concours s'achève : bon, je ne me souviens plus des premiers, les tout derniers j'ai pas écouté, mais ceux juste avant ils étaient pas mal je crois.

Et le classement est le suivant :

Classement eurovision

On retrouve ces trois phases dans le classement final, donné en fonction du rang de passage des candidats : la phase de calibrage, pendant laquelle on se fait une idée du niveau de la compétition, suivie de la phase d'enthousiasme, pendant laquelle on aime les morceaux, et finalement la phase d'exaspération, durant laquelle on attend impatiemment la fin de la soirée.
La courbe binomiale de tendance, d'une détermination de 31%, montre un optimal de bons sentiments pour les groupes s'exécutant entre le 17e et le 21e rang (l'optimal est atteint au 19e rang, soit à 77%). La tendance est très semblable si on exclut le vainqueur du calcul, ce n'est donc pas autoréalisateur.
Le découpage du graphe est formel : si l'on passe dans les 9 premiers (37%, cela vous rappelle-t-il quelque chose sur la durée d'apprentissage d'une loi aléatoire ?), on est condamné à finir dans les 11 derniers (et on remercie la France qui, bien que idéalement placée en ordre de passage, n'est comme d'habitude pas capable de trouver une chanson et une chanteuse dignes de ce nom).

CONCLUSION : si les Finlandais ont gagné l'Eurovision 2006, c'est du au fait qu'ils soient passés aux 71%. Retenez-le pour vos prochains concours/auditions...


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